题目内容

集合{23，-34，57， $数学公式$ ，86，-75， $数学公式$ ，-1}每一个非空子集的元素乘积（单元素集取元素本身）之和为________．

-1
分析：集合{23，-34，57， $\text{[math]}$ ，86，-75， $\text{[math]}$ ，-1}每一个非空子集的元素乘积应该是8个元素自身取一次，每2个元素乘积一次，每3个元素乘积一次，等等，8个元素还要乘积一次，记集合中的8个元素分别为：x₁，x₂，…，x₈，最后的和相当于（1+x₁）（1+x₂）…（1+x₈）-1，因为x₈=-1，所以（1+x₁）（1+x₂）…（1+x₈）=0，则结果可求．
解答：记集合中的8个元素分别为：x₁，x₂，…，x₈，
只有一个元素的子集的元素乘积之和为：x₁+x₂+…+x₈，
含有两个元素的元素乘积之和为：x₁x₂+x₁x₃+…+x₇x₈，
…
含有八个元素的子集的元素乘积为：x₁x₂…x₈，
把以上8组和式作和得：集合中每一个非空子集的元素乘积（单元素集取元素本身）之和为：
（1+x₁）（1+x₂）…（1+x₈）-1，
因为1+x₈=1-1=0，
所以集合{23，-34，57， $\text{[math]}$ ，86，-75， $\text{[math]}$ ，-1}每一个非空子集的元素乘积（单元素集取元素本身）
之和为-1．
故答案为-1．
点评：本题考查了子集与真子集，解答此题的关键是把所有非空子集的和看作从（1+x₁），（1+x₂），…，（1+x₈）这8个因式中任取一个、任取两个、等等与其它的1相乘最后作和，该题比较抽象，思考有一定难度．