Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0），F为焦点，设抛物线C上一点P(m，

3

4

)到焦点的距离为1，l为准线，l与y轴的交点为H．
（I）求抛物线C方程；
（Ⅱ）设M是抛物线C上一点，E（0，4），延长ME，MF分别交抛物线C于点A，B两点．若A，B，H三点共线，求点M的坐标．

Answer 1

分析：（I）由抛物线的定义，结合P到焦点的距离为1建立关于p的方程，解出p=

1

2

即得抛物线C方程；
（II）设M（λ，λ²），由抛物线的性质解出B（-

1

4λ

，

1

16λ2

）．求出H（0，-

1

4

），从而算出HB的方程，与抛物线联解得出A（-λ，λ²），再由M、E、A三点共线求出λ的值，即可得到点M的坐标．

解答：解：（I）∵抛物线C的焦点为（0，

p

2

）
∴P(m，

3

4

)到焦点的距离为1，即

p

2

+

3

4

=1，解之得p=

1

2

因此抛物线方程为x²=y；
（II）设M（λ，λ²），B（μ，μ²）
根据抛物线的性质，可得λμ=-p²=-

1

4

，得μ=-

1

4λ

∴B（-

1

4λ

，

1

16λ2

），
结合点H（0，-

1

4

），得到直线HB的方程为y=-(

1

4λ

+λ)x-

1

4

联解直线HB与抛物线x²=y方程，可得A（-λ，λ²）
∵M（λ，λ²）、E（0，4）、A（-λ，λ²）三点共线，
∴λ²=4，解之得λ=±2，
由此可得M（-2，4）或（2，4）．

点评：本题给出抛物线满足的条件，求抛物线的方程和点M的坐标．着重考查了抛物线的定义与标准方程、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．