题目内容
已知?x∈R，acos2x+bcosx≥-1恒成立，则当a≤0时，a+b的最大值是（ ）
A．
| B．1 | C．
| D．2 |
acos2x+bcosx≥-1恒成立，即a（2cos2x-1）+bcosx+1≥0
令cosx=t，则f（t）=2at2+bt+1-a≥0，在t∈[-1，1]上 恒成立，
若a=0时，f（t）=bt+1≥0在t∈[-1，1]上 恒成立，
当b≥0时，bt+1的最小值为-b+1，由-b+1≥0可得b≤1
当b＜0时，bt+1的最小值为-b+1，由-b+1≥0可得b≥-1，
即b∈[-1，1]，故a+b≤1，a+b的最大值为1；
若a＜0，f（t）=2at2+bt+1-a为开口向下的二次函数，
故只需区间两个端点处的函数值大于等于0即可，
即f（-1）≥0，f，1）≥0，解得
令z=a+b，由线性规划的知识可得z=a+b＜1，
综上可得a+b≤1
故选B
令cosx=t，则f（t）=2at2+bt+1-a≥0，在t∈[-1，1]上 恒成立，
若a=0时，f（t）=bt+1≥0在t∈[-1，1]上 恒成立，
当b≥0时，bt+1的最小值为-b+1，由-b+1≥0可得b≤1
当b＜0时，bt+1的最小值为-b+1，由-b+1≥0可得b≥-1，
即b∈[-1，1]，故a+b≤1，a+b的最大值为1；
若a＜0，f（t）=2at2+bt+1-a为开口向下的二次函数，
故只需区间两个端点处的函数值大于等于0即可，
即f（-1）≥0，f，1）≥0，解得
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令z=a+b，由线性规划的知识可得z=a+b＜1，
综上可得a+b≤1
故选B
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