Question

已知数列{a_n}，a_n＝pⁿ＋λqⁿ(p＞0，p≠q，λ∈R，λ≠0，n∈N^*)．

(1)求证：数列{a_n+1－pa_n}为等比数列；

(2)数列{a_n}中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；

(3)设A＝{(n，b_n)|b_n＝3ⁿ＋kⁿ，n∈N^*}，其中k为常数，且k∈N^*，B＝{(n，c_n)|c_n＝5ⁿ，n∈N^*}，求A∩B．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵＝，∴ 　　， 　　∵∴为常数∴数列为等比数列 　　(2)取数列的连续三项， 　　∵， 　　，∴，即， 　　∴数列中不存在连续三项构成等比数列； 　　(3)当时，，此时； 　　当时，为偶数；而为奇数，此时； 　　当时，，此时； 　　当时，，发现符合要求，下面证明唯一性(即只有符合要求)． 　　由得， 　　设，则是上的减函数，∴的解只有一个 　　从而当且仅当时，即，此时； 　　当时，，发现符合要求，下面同理可证明唯一性(即只有符合要求)． 　　从而当且仅当时，即，此时； 　　综上，当，或时，； 　　当时，， 　　当时，．