Question

已知函数．

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)如果关于x的方程有实数根，求实数m的取值集合；

(Ⅲ)是否存在正数k，使得关于x的方程f(x)＝kg(x)有两个不相等的实数根？如果存在，求k满足的条件；如果不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解(Ⅰ)函数f(x)的定义域是 　　对　2分 　　由 　　因此　5分 　　(Ⅱ)因为 　　所以实数m的取值范围就是函数的值域　6分 　　对 　　 　　又当x无限趋近于0时，lnx无限趋近于无限趋近于0， 　　进而有无限趋近于 　　因此函数 　　即实数m的取值范围是　9分 　　(Ⅲ)结论：这样的正数k不存在　10分 　　下面采用反证法来证明：假设存在正数k，使得关于x的方程有两个不相等的实数根　11分 　　根据对数函数定义域知都是正数 　　又由(Ⅰ)可知，当x＞0时， 　　 　　再由k＞0，可得 　　由(1)和(2)可得 　　利用比例性质得 　　即(*)　13分 　　由于lnx是区间上的恒正增函数，且 　　又由于是区间上的恒正减函数，且 　　 　　 　　这与(*)式矛盾．因此满足条件的正数k不存在．　14分