Question

设P(x₀,y₀)是椭圆=1(a＞b＞0)上任意一点,F₁为其左焦点.

(1)求|PF₁|的最小值和最大值;

(2)在椭圆=1上求一点P,使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直.

Answer 1

解:(1)对应于F₁的准线方程为x=－,根据椭圆的第二定义:=e,

∴|PF₁|=a+ex₀.

又－a≤x₀≤a,

∴当x₀=－a时,|PF₁|_min=a+(－a)= a－c;

当x₀=a时,|PF₁|_max=a+·a=a+c.

(2)∵a²=25,b²=5,

∴c²=20,e²=.

∵|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²,

∴(a+ex₀)²+(a－ex₀)²=4c².

将数据代入得25+x₀²=40.

∴x₀=±.代入椭圆方程得P点的坐标为(,),(,－),(－,), (－,

－).

点评:|PF₁|、|PF₂|都是椭圆上的点到焦点的距离,称作焦半径,而|PF₁|=a+ex₀,|PF₂|=a－ex₀称作焦半径公式.当椭圆的焦点在y轴上时,仿照上面的推导,焦半径公式成为|PF₁|=a+ey₁,|PF₂|=  a－ey₁.

椭圆上距焦点最近或最远的点是长轴的端点.