Question

如图，已知ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且AB＝FB＝2DE．

(Ⅰ)求证：平面AEC⊥平面AFC；

(Ⅱ)求直线EC与平面BCF所成的角；

(Ⅲ)问在EF上是否存在一点M，使三棱锥M－ACF是正三棱锥？

若存在，试确定M点的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)连结BD，AC，设他们交于点O，连结EO，FO，

　　∵ABCD是正方形，∴OD⊥AC．

　　又∵ED⊥平面ABCD，且OD为ED在平面ABCD内的射影

　　∴EO⊥AC．同理FO⊥AC，

　　∴∠EOF就是二面角E－AC－F的平面角．

　　设DE＝，∵AB＝BF＝2DE，

　　∴OE＝，OF＝，EF＝．

　　∴EO²＋FO²＝EF²，即，∴平面AEC⊥平面AFC．

　　[另法提示：建立空间直角坐标系，证]

　　(Ⅱ)过点C作CP⊥平面AC，且使CP＝DE，连结EP，则四边形CDEP是矩形，且CP在平面FBC内，∵DC平面FBC，EP∥DC，∴EP⊥平面FBC，

　　∴∠ECP就是EC与平面FBC所成的角，

　　在Rt△ECP中，EP＝2a，CP＝a，∴tan∠ECP＝2，

　　∴EC与平面FBC所成的角为arctan2．

　　[另法提示：一、转化为求EC与平面ADE所成的角；二、利用空间向量求解，先求与平面BCF的法向量的夹角，然后求其余角]

　　(Ⅲ)由题意可知△ACF是等边三角形，设点N是△ACF的中心，

　　则点N一定在OF上，且｜FN｜＝2｜NO｜，

　　在平面EOF内，作OF，且与EF交于M点．

　　∵AC⊥OE，AC⊥OF，∴平面，又平面ACF．

　　∴平面ACF⊥平面，又OF，∴平面ACF．∴三棱锥M－ACF是正三棱锥．

　　在平面中，由．

　　可知MN∥EO，又｜FN｜＝2｜NO｜，∴｜FM｜＝2｜ME｜．

　　在EF上存在一点M，使三棱锥M－ACF是正三棱锥，且点M是线段EF的靠近E的三等分点

　　[另法提示：本大题可将所给几何体补成正方体来进行求解]