题目内容

已知 $数学公式$ =（3，4）， $数学公式$ =（4，3），求x，y的值使（x $数学公式$ +y $数学公式$ ） $数学公式$ ，且|x $数学公式$ +y $数学公式$ |=1．

解：∵已知 $\text{[math]}$ =（3，4）， $\text{[math]}$ =（4，3），∴（x $\text{[math]}$ +y $\text{[math]}$ ）=（3x+4y，4x+3y），
又（x $\text{[math]}$ +y $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ，∴（x $\text{[math]}$ +y $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ =3（3x+4y ）+4（4x+3y）=0，即 25x+24y=0 ①．
再由|x $\text{[math]}$ +y $\text{[math]}$ |=1，可得（3x+4y）²+（4x+3y）²=1，
整理得 25x²+48xy+25y²=1，即 x（25x+24y）+24xy+25y²=1 ②．
由①②有 24xy+25y²=1 ③，将①变形代入③可得：y=± $\text{[math]}$ ，
再代回①得： $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．
分析：由（x $\text{[math]}$ +y $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ，可得（x $\text{[math]}$ +y $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ =0，即 25x+24y=0 ①．再由|x $\text{[math]}$ +y $\text{[math]}$ |=1，可得 x（25x+24y）+24xy+25y²=1 ②．由①②可求得x，y的值．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，向量的模的定义，属于中档题．