Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），以椭圆E的左焦点F（-c，0）为圆心，以a-c为半径作圆F，过B（0，b）作圆F的切线，切点分别是M、N，若直线MN的斜率k∈( -

2

2

，  -

3

3

 )，则椭圆的离心率e的取值范围是

1

2

＜e＜

3

3

．

Answer 1

分析：过两切点的直线与过左焦点与短轴上顶点的连线垂直，由此可以求出

b

c

的取值范围，再求离心率范围．

解答：解：由题设知直线MN与过左焦点与短轴上顶点的连线垂直，
即MN⊥BF，
∵直线MN的斜率k∈( -

2

2

，  -

3

3

 )，
∴直线BF的斜率

b

c

∈[

2

，

3

]，
∴

2

c≤ b≤

3

c，
∴2c²≤b²≤3c²，
∴3c²≤b²+c²=a²≤4c²，
∴

3

c≤a≤2c，
∴

1

2

≤

c

a

=e≤

3

3

．
故答案为：

1

2

≤e≤

3

3

．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．