Question

（本小题满分12分）

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且 2a₁ + 3a₂ = 1， = 9a₂a₆．

(Ⅰ) 求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设 b_n= log₃a₁ + log₃a₂ + … + log₃a_n，求的前n项和T_n ；

（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，求使  ≥ (7 − 2n)T_n恒成立的实数 k 的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）．（Ⅱ）前 n 项和为 − ．（Ⅲ）

【解析】

试题分析：(1)根据2a₁ + 3a₂ = 1， = 9a₂a₆．可建立关于a₁和q的方程求出a₁和q的值，从而得到{a_n}的通项公式.

(2)再（1）的基础上根据对数的运算性质可得，因而可得 = −2,显然采用叠加求和的方法求和.

（3）可令,采用作差法求的最大值，从而求出k的范围.

（Ⅰ）设数列的公比为(q > 0 )，

由  得，．

故数列的通项公式为．

（Ⅱ ）b_n = log₃a₁ + log₃a₂ + … + log₃a_n = −

  故  = −2

T_n =  +  +  + … +

          = −2 = −   

所以数列  的前 n 项和为 − ．

（Ⅲ ）化简得对任意恒成立

设，则

当为单调递减数列，

为单调递增数列，

所以，n=5时，取得最大值为．

所以, 要使对任意恒成立，

考点：考查了等比数列的通项、数列求和、不等式恒成立等知识.

点评：掌握等差等比数列的通项及性质以及常用数列求和的方法是求解此类问题的关键.