Question

【题目】如图，在多面体中，四边形是正方形，是正三角形，， ，.

（1）求证：平面；

（2）求多面体的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）取的中点，证明四边形为平行四边形，可得，从而可得面，再证明面，利用面面平行的判定，可得平面平面，从而可得平面；（2）先证明平面，于是多面体是由直三棱柱和四棱锥组成的，即可得出结论．

试题解析：证明：（1）取中点，连，

∵，

∴四边形，是平行四边形，

∴，，

在正方形中，，∴，

∴四边形为平行四边，∴，

∵，∴平面平面，

又平面，∴平面

（2）在正方形中，，又是等边三角形，所以,

所以，，

于是，，又，∴平面，∴，

又，，∴平面，

于是多面体是由直三棱柱和四棱锥组成.

又直三棱柱的体积为，

四棱锥的体积为，

故多面体的体积为.