Question

已知f（x+1）=

2f(x)

f(x)+2

，f（1）=1，（x∈N^*），猜想f（x）的表达式为（　　）

• A、f（x）=

  4

  2x+2

• B、f（x）=

  2

  x+1

• C、f（x）=

  1

  x+1

• D、f（x）=

  2

  2x+1

Answer 1

分析：把f（x+1）=

2f(x)

f(x)+2

取倒数得

1

f(x+1)

=

f(x)+2

2f(x)

=

1

2

+

1

f(x)

，根据等差数列的定义，可知数列{

1

f(x)

}是以

1

f(1)

= 1为首项，

1

2

为公差的等差数列，从而可求得f（x）的表达式．

解答：解：∵f（x+1）=

2f(x)

f(x)+2

，f（1）=1，（x∈N^*），
∴

1

f(x+1)

=

f(x)+2

2f(x)

=

1

2

+

1

f(x)

．
∴数列{

1

f(x)

}是以

1

f(1)

= 1为首项，

1

2

为公差的等差数列．
∴

1

f(x)

=1+

1

2

(x-1)=

x+1

2

，
∴f（x）=

2

x+1

，
故选B．

点评：本题主要考查抽象函数求解析式，进而转化为数列研究数列的通项，考查灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，知识的迁移能力，属中档题．