Question

某种汽车购买时费用为16.9万元，每年应交付保险费及汽油费共1万元；汽车的维修费第一年为1千元，以后每年都比上一年增加2千元．
（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为S_n，试写出S_n的表达式；
（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）使用n年该车的总费用S_n等于购车费用加上n年应交付保险费及汽油费共n万元，再加上n年的维修费用，n年的维修费是以0.1为首项，0.2为公差的等差数列，利用等差数列求和后合并即可；
（Ⅱ）该车每一年的平均费用等于n年的总费用除以年数，然后利用基本不等式求最小值．

解答：解：（Ⅰ）依题意S_n=16.9+（0.1+0.3+0.5+0.7+…+（0.2n-0.1））+n
=16.9+

(0.1+0.2n-0.1)n

2

+n=0.1n²+n+16.9；
（Ⅱ）设该车的年平均费用为S万元，则有
S=

1

n

Sn=

1

n

(0.1n2+n+16.9)=

n

10

+

16.9

n

+1≥2

1.69

+1=3.6．
当且仅当

n

10

=

16.9

n

，即n=13时，等号成立．
故：汽车使用13年报废为宜．

点评：本题考查了数列求和，考查了数列的函数特性，训练了利用基本不等式求函数最值，利用基本不等式求最值时注意等号成立的条件，是中档题．