题目内容

在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且满足4a²cosB-2accosB=a²+b²-c²．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设 $数学公式$ 的取值范围．

解：（Ⅰ）∵4a²cosB-2accosB=a²+b²-c²，
∴4a²cosB-2ac $\text{[math]}$ =a²+b²-c²．∴cosB= $\text{[math]}$ ．
再由B∈（0， $\text{[math]}$ ），可得 B= $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ -2cos2C=- $\text{[math]}$ -2cos（ $\text{[math]}$ -2A）= $\text{[math]}$ cos2A- $\text{[math]}$ sin2A=cos（2A+ $\text{[math]}$ ）．
由（Ⅰ）可得A+C= $\text{[math]}$ ，股 C= $\text{[math]}$ -A．
∵△ABC是锐角三角形，∴0＜ $\text{[math]}$ -A＜ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ＜A＜ $\text{[math]}$ ，故 2A+ $\text{[math]}$ ∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴-1≤cos（2A+ $\text{[math]}$ ）＜- $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ∈[-1，- $\text{[math]}$ ），
即 $\text{[math]}$ 的取值范围为[-1，- $\text{[math]}$ ）．
分析：（Ⅰ）由余弦定理求得cosB= $\text{[math]}$ ，再由B∈（0， $\text{[math]}$ ）可得 B的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得A+C= $\text{[math]}$ ，C= $\text{[math]}$ -A，根据△ABC是锐角三角形，求出角A的范围，由两角差的余弦公式化简 $\text{[math]}$ 的解析式为cos（2A+ $\text{[math]}$ ），由2A+ $\text{[math]}$ 的范围，进而得到cos（2A+ $\text{[math]}$ ）的范围，由此求得 $\text{[math]}$ =cos（2A+ $\text{[math]}$ ）的范围．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，余弦定理，两角差的余弦公式的应用，属于中档题．