Question

如右图，棱长为1的正方体ABCD－ABCD中，P为DD中点，O、O、O分别是

面AC、面BC、面AC的中心。

（1）求证：BO⊥PA；

（2）求异面直线PO与OO所成角的余弦值；

（3）求PO的长。

Answer 1

证明：以D为坐标原点，DA、DB、DD所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系D—xyz。

则A（1，0，0），B（1，1，1），P（0，0，），O（，，0），

∴=（－，－，－1），=（1， 0，－）。

∴·=－×1－×0－1×（－）=0。∴⊥。∴BO⊥PA。

（2）∵O（，，1），O（，1，），

∴＝（0，，－）。又＝（，，－），设与夹角为，

∴cos＝＝＝＝。

∴异面直线PO与OO所成角的余弦值为。

（3）解：∵P（0，0，），O（，1，），∴||==，故PO的长为