Question

请您设计一个帐篷,它下部的形状是高为1 m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如右图所示).试问当帐篷的顶点O到底面中心O₁的距离为多少时,帐篷的体积最大?

Answer 1

解:设OO₁为x m,则1＜x＜4.由题设可得正六棱锥底面边长为(单位:m)

=.于是底面正六边形的面积为(单位:m²)

6··()²=(8+2x-x²).

帐篷的体积为(单位:m³)V(x)=(8+2x-x²)［(x-1)+1］=(16+12x-x³).

求导数,得V′(x)=(12-3x²).

令V′(x)=0,解得x=-2(不合题意,舍去),x=2.当1＜x＜2时,V′(x)＞0,V(x)为增函数;

当2＜x＜4时,V′(x)＜0,V(x)为减函数.所以当x=2时,V(x)最大.答:当OO₁为2 m时,帐篷的体积最大.