Question

设函数f（x）=alnx，g（x）=x²．
（1）记g′（x）为g（x）的导函数，若不等式f（x）+2g′（x）≤（a+3）x-g（x）在x∈[1，e]上有解，求实数a的取值范围；
（2）若a=1，对任意的x₁＞x₂＞0，不等式m[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）恒成立．求m（m∈Z，m≤1）的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）化简不等式得a，设y=，然后分离出参数a后转化为a≥y_min，利用导数可求得最小值；
（2）由m[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）恒成立，得mg（x₁）-x₁f（x₁）＞mg（x₂）-x₂f（x₂）恒成立，设t（x）=（x＞0）．由此可判断当x∈（0，+∞）时函数t（x）单调递增，则t′（x）=mx-lnx-1≥0恒成立，分离出参数m，转化求函数最值即可，利用导数求得最值；
解答：解：（1）不等式f（x）+2g′（x）≤（a+3）x-g（x），即为alnx+2x≤（a+3）x-，化简得：a（x-lnx），
由x∈[1，e]知x-lnx＞0，因而a，设y=，
由y′==，
∵当x∈（1，e）时，x-1＞0，+1-lnx＞0，
∴y′＞0在x∈[1，e]时成立，则y=递增，．
由不等式有解，可得知a，即实数a的取值范围是[-，+∞）．
（2）当a=1，f（x）=lnx．
由m[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）恒成立，得
mg（x₁）-x₁f（x₁）＞mg（x₂）-x₂f（x₂）恒成立，
设t（x）=（x＞0）．
由题意知x₁＞x₂＞0，故当x∈（0，+∞）时函数t（x）单调递增，
∴t′（x）=mx-lnx-1≥0恒成立，即m恒成立，
因此，记y=，得，
∵函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴函数h（x）在x=1时取得极大值，并且这个极大值就是函数h（x）的最大值．
由此可得h（x）_max=h（1）=1，故m≥1，结合已知条件m∈Z，m≤1，可得m=1．．
点评：本题考查导数在求函数最值中的应用，考查学生分析问题解决问题的能力．