Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为AB、A₁C的中点．
（1）证明：EF∥平面AA₁D₁D；
（2）当AA₁=AD时，证明：EF⊥平面A₁CD．

Answer 1

分析：（1）连接AD₁交A₁D于O，连接OF，要证明EF∥平面AA₁D₁D，只需证明OA∥EF即可；
（2）当AA₁=AD时，要证明EF⊥平面A₁CD，只需证明EF⊥A₁D，EF⊥CD即可．

解答：（1）证明：连接AD₁交A₁D于O，连接OF，显然O是AD₁的中点，
可得OF∥CD，OF=

1

2

CD，所以AEFO是平行四边形，所以OA∥EF，
OA?平面AA₁D₁D，∴EF∥平面AA₁D₁D
（2）当AA₁=AD时，AD₁⊥A₁D，CD⊥AD₁
由于AEFO是平行四边形，所以EF⊥A₁D，CD⊥EF
A₁D∩CD=D，所以EF⊥平面A₁CD

点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．