Question

【题目】在平面直角坐标系中，设中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆的左、右焦点分别为，右准线与轴的交点为，.

（1）已知点在椭圆上，求实数的值；

（2）已知定点．

① 若椭圆上存在点，使得，求椭圆的离心率的取值范围；

② 如图，当时，记为椭圆上的动点，直线分别与椭圆交于另一点，若且，求证：为定值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）见解析

【解析】

（1）由椭圆的准线方程列式求解；

（2）①设点T（x，y）由，得（x+2）2+y2=2[（x+1）2+y2]，即x2+y2=2．得出关于m的关系式求得离心率范围；

②设M（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2）由=λ，=μ的关系列式求解．

（1）设椭圆的标准方程为，则，

所以，椭圆的标准方程为，代入点，

解得（舍负）.（先求标准方程也可）

（2）①点坐标为，设点坐标为，由，

得，化简，得，

与椭圆方程联立，得，而，则

解得，离心率，

（也可以从长半轴短半轴与圆的半径关系求的范围）

所以，椭圆的离心率的取值范围为.

②设点的坐标分别为，则

，由得

，则，

代入，整理得

，而，则

，而由题意，显然，

则，所以；

同理，由得，，

所以，.