题目内容

已知向量a=(cos
3x
2
，sin
3x
2
)，b=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，且x∈[0，
π
2
]，f（x）=
a
•
b
-2λ|
a
+
b
|（λ为常数），
求：（1）
a
•
b
及|
a
+
b
|；
（2）若f（x）的最小值是-
3
2
，求实数λ的值．
分析：（1）根据所给的向量的坐标，写出两个向量的数量积，写出数量积的表示式，利用三角函数变换，把数量积整理成最简形式，再求两个向量和的模长，根据角的范围，写出两个向量的模长．
（2）根据第一问做出的结果，写出函数的表达式，式子中带有字母系数λ，把式子整理成关于cosx的二次函数形式，结合λ的取值范围，写出函数式的最小值，是它的最小值等于已知量，得到λ的值，把不合题意的舍去．
解答：解：（1）
a
•
b
=cos
3x
2
cos
x
2
-sin
3x
2
sin
x
2
=cos2x，|
a
+
b
|=
(cos
3x
2
+cos
x
2
)2+(sin
3x
2
-sin
x
2
)2
=
2+2cos2x
=2
cos2x
，
∵x∈[0，
π
2
]，
∴cosx≥0，
∴|
a
+
b
|=2cosx．

（2）f（x）=cos2x-4λcosx=2（cosx-λ）2-1-2λ2，
∵x∈[0，
π
2
]，
∴0≤cosx≤1，
①当λ＜0时，当且仅当cosx=0时，f（x）取得最小值-1，这与已知矛盾；
②当0≤λ≤1，当且仅当cosx=λ时，f（x）取得最小值-1-2λ2，
由已知得-1-2λ2=-
3
2
，解得λ=
1
2
；
③当λ＞1时，当且仅当cosx=1时，f（x）取得最小值1-4λ，
由已知得1-4λ=-
3
2
，解得λ=
5
8
，这与λ＞1相矛盾、
综上所述，λ=
1
2
为所求．
点评：本题考查向量的数量积和模长，考查三角函数变换，考查二次函数的最值，考查分类讨论思想，是一个综合题，题目涉及的内容比较多，易错点是带有字母系数的二次函数最值问题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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