Question

设坐标原点为O，抛物线y²=2x与过焦点的直线交于A，B两点，则

OA

•

OB

=

 

．

Answer 1

分析：法一：根据抛物线的标准方程，求出焦点F（

1

2

，0 ），当AB的斜率不存在时，可得A（

1

2

，1），B（

1

2

，-1），求得

OA

•

OB

 的值，结合填空题的特点，得出结论．
法二：由抛物线y²=2x与过其焦点（

1

2

，0）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点坐标，

OA

• 

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂，由韦达定理可以求得答案．

解答：解：法一：抛物线y²=2x的焦点F（

1

2

，0 ），
当AB的斜率不存在时，可得A（

1

2

，1），B（

1

2

，-1），
∴

OA

•

OB

=（

1

2

，1）•（

1

2

，-1）=

1

4

-1=-

3

4

，
法二：由题意知，抛物线y²=2x的焦点坐标为（

1

2

，0），∴直线AB的方程为y=k（x-

1

2

），
由

y2=2x y=k(x- 1 2 )

得k²x²-（k²+2）x+

1

4

k²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则 x1+x2=

k2+ 2

k2

，x1•x2=

1

4

，y₁•y₂=k（x₁-

1

2

）•k（x₂-

1

2

）=k²[x₁•x₂-（x₁+x₂）+

1

4

]
∴

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=

k2+2

k2

+k2(

1

4

-

k2+2

4k2

+

1

4

) =-

3

4

，
故答案为：-

3

4

．

点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，两个向量的数量积公式，通过给变量取特殊值，检验所给的选项，是一种简单有效的方法．