Question

设抛物线y²=4px（p＞0）的准线与x轴的交点为M，过点M作直线l交抛物线于A，B两点．若直线l的斜率依次取p，p²，…，pⁿ时，线段AB的垂直平分线与对称轴的交点依次为N₁，N₂，…，N_n，当0＜p＜1时，求的值．

Answer 1

考点：

抛物线的简单性质．

专题：

计算题；等差数列与等比数列；圆锥曲线中的最值与范围问题．

分析：

根据题意，设直线l的方程为y=pⁿ（x+p），与抛物线方程联解算出AB的中点坐标为（，），从而得到AB中垂直方程，然后在此方程中令y=0，得到得当斜率时N_n的横坐标为．由此代入算出关于p的表达式，证出成公比为p²＜1的等比数列，利用无穷递缩等比数列的求和公式即可算出S的值．

解答：

解：∵抛物线y²=4px（p＞0）准线为x=﹣p

∴M（﹣p，0），可得直线l的方程为y=pⁿ（x+p）

与抛物线y²=4px消去x，得y²﹣+4p²=0

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

可得y₁+y₂=，y₁y₂=4p²，所以x₁+x₂=（y₁²+y₂²）=

∴线段AB的中点坐标为（，），即（，）

因此，线段AB的垂直平分线为y﹣=[x﹣]

令y=0，得x_n=，得当斜率时，．

因此，|N_nN_n+1|=|x_n+1﹣x_n|=，

所以，

所以是以为首项，以p²为公比的等比数列，且0＜p²＜1，

故=．

点评：

本题着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率与等比数列的通项与求和公式等知识，属于中档题．本题综合了几何与代数中的主干知识，是一道不错的综合题型．