Question

(本题满分12分)

设数列{a}的各项都是正数，且对任意n∈N^*，都有a＋a＋a＋……＋a=s,其中s为数列的前n项和.     (Ⅰ)求证：a=2s―a；(Ⅱ)求数列{a}的通项公式；

(Ⅲ)   设b=3＋(―1)l·2(l为非零整数，n∈N^*)，试确定l的值，使得对任意的

n∈N^*，都有b>b成立.

Answer 1

解：(Ⅰ)由已知，当n=1时，a=s 又∵ a>0 ∴ a=1 …………1分

当n≥2时，a＋a＋a＋……＋a=s…………①

a＋a＋a＋……＋a=s…………②   ………………2分

①―②得：a=(s―s)(s＋s)=a(s＋s) ∵ a>0  ∴ a=s＋s

又 s=s―a   ∴ a=2s―a …………3分

当n=1时，a=1也适合上式 ∴ a=2s―a …………4分

(Ⅱ) 由（1）知，a=2s―a………③当n≥2时，a=2s―a……④ 

③―④得：a―a=2（s―s）＋a―a= a＋a…………6分

∵a＋a>0  ∴ a―a =1  ∴ 数列{a}是等差数列，∴a=n…………8分

(Ⅲ) ∵ a=n ∴ b=3＋(―1)l·2.要使b>b恒成立，则b―b=3＋(―1) l·2―3―(―1)l·2=2×3―3l(―1) ·2>0恒成立，即(―1)l<()恒成立  …………9分，

（1）当n为奇数时，即l<()恒成立，又()的最小值为1，∴l<1；…………10分

（2）当n为偶数时，即l>―()恒成立，又―()的最大值为―，∴l>―……11分

即―<l<1,又l为非零整数，∴l=―1能使得对任意的n∈N^*，都有b>b成立. … 12分