Question

如图，海中小岛A周围40海里内有暗礁，一船正在向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，问有无触礁的危险？

Answer 1

分析：在三角形ABC中，由B与C度数求出A的度数，再由sinA，sinB及BC的长，利用正弦定理求出AC的长，利用锐角三角函数定义求出A到BC边的距离，与40比较大小即可做出判断．

解答：解：在△ABC中，BC=30，∠B=30°，∠C=135°，所以∠A=15°，
根据正弦定理

BC

sinA

=

AC

sinB

得：

30

sin15°

=

AC

sin30°

，
∴AC=

30sin30°

sin15°

=60cos15°=60cos（45°-30°）=60（cos45°cos30°+sin45°sin30°）=15（

6

+

2

），
∴A到BC边所在直线的距离为：ACsin45°=15（

6

+

2

）×

2

2

=15（

3

+1）≈40.98（海里），
∵40.98＞40，
∴船继续向南航行没有触礁的危险，
则此船不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．