Question

如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？

Answer 1

分析：在△ABC中，BC=30，B=30°，∠ACB=180°-45°=135°，A=45°，利用正弦定理知：

30

sin15°

=

AC

sin30°

，由此求出A到BC所在直线的距离之后进行判断即可．

解答：解：在△ABC中，BC=30，B=30°，
∠ACB=180°-45°=135°，
∴A=15°，
由正弦定理知：

BC

sinA

=

AC

sinB

，
∴

30

sin15°

=

AC

sin30°

，
∴AC=

30sin30°

sin15°

=60cos15°=15

6

+15

2

，…（6分）
∴A到BC所在直线的距离为AC•sin45°=(15

6

+15

2

)•

2

2

=15(

3

+1)≈40.98＞38（海里），
∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．…（12分）

点评：本题考查解三角形问题在生产实际中的运用，综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要认真审题，注意正弦定理和数形结合思想在解题中的合理运用．