Question

已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（x）=-x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

解：（1）f′（x）=-2x-1，
∵f′（0）=0，∴a=1．
（2）f（x）=ln（x+1）-x²-x
所以问题转化为b=ln（x+1）-x²+x在[0，2]上有两个不同的解，
从而可研究函数g（x）=ln（x+1）-x²+x在[0，2]上最值和极值情况．
∵g′（x）=-，
∴g（x）的增区间为[0，1]，减区间为[1，2]．
∴g_max（x）=g（1）=+ln2，g_min（x）=g（0）=0，
又g（2）=-1+ln3，
∴当b∈[-1+ln3，+ln2）时，方程有两个不同解．
分析：（1）令f′（x）=0，即可求得a值；
（2）f（x）=-x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，即b=ln（x+1）-x²+x在区间[0，2]上有两个不同的实根，
问题可转化为研究函数g（x）=ln（x+1）-x²+x在[0，2]上最值和极值情况．利用导数可以求得，再借助图象可得b的范围．
点评：本题考查函数在某点取得极值的条件及方程根的个数问题，注意函数与方程思想、数形结合思想的运用．