Question

若f（x）=ax³+x在区间[-1，1]上单调递增，求a的取值范围

a≥-

1

3

．

Answer 1

分析：由f（x）=ax³+x在区间[-1，1]上单调递增，得f′（x）=3ax²+1≥0在[-1，1]上恒成立，分a≥0，a＜0两种情况讨论：a≥0时易验证；a＜0时分离出参数a后借助图象可得不等式，解出即可；

解答：解：∵f（x）=ax³+x在区间[-1，1]上单调递增，
∴f′（x）=3ax²+1≥0在[-1，1]上恒成立，
若a≥0时，则f′（x）=3ax²+1≥0在[-1，1]上恒成立，满足条件．
若a＜0时，要使f′（x）=3ax²+1≥0在[-1，1]上恒成立，则
满足f′（1）≥0，即可，
即f′（1）=3a+1≥0，解得a≥-

1

3

．
此时-

1

3

≤a＜0．
综上：a≥-

1

3

．
故答案为：a≥-

1

3

．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，可导函数f（x）在[a，b]上单调递增的充要条件是f′（x）≥0．