Question

以下命题正确的是

③④

（填序号）
①若||x-1|-|x+1||＜0对任意实数x均成立，则a的范围是a≥2；
②若y=lg（ax²+ax+1）的值域为R，则0≤a≤4；
③若f（x）=ax³+blog₂（x+

x2+1

）+2在（-∞，0）有最小值-5（a，b为常数），则f（x）在（0，+∞）的最大值为9；
④若y=-f（x）的图象经过第三、四象限，那么y=f^-1（x）的图象经过第一、四象限．

Answer 1

分析：由绝对值的意义可得①不正确．根据ax²+ax+1＞0恒成立，可得 0≤a＜4，故②不正确．
根据奇函数的性质可得③正确．根据y=-f（x）的图象和y=f（x）的图象关于x轴对称，y=f（x）的图象和y=f^-1（x）的图象关于直线y=x对称，可得④正确．

解答：解：由于||x-1|-|x+1||＜0 不可能成立，故①不正确．
若y=lg（ax²+ax+1）的值域为R，则ax²+ax+1的最小值小于或等于零，
当a=0时，ax²+ax+1=1，不满足y=lg（ax²+ax+1）的值域为R，故②不正确．
令g（x）=ax³+blog₂（x+

x2+1

），则g（x）是奇函数．
由于f（x）=g（x）+2 在（-∞，0）有最小值-5，故g（x）在（-∞，0）有最小值-7，
设x＞0，则-x＜0，∴g（-x）≥-7，∴-g（x）≥-7，∴g（x）≤7，
即g（x）在（0，+∞）上有最大值7，g（x）+2≥9．
故f（x）=g（x）+2 在（0，+∞）上有最大值为9，故③正确．
若y=-f（x）的图象经过第三、四象限，y=-f（x）的图象和y=f（x）的图象关于x轴对称，
故y=f（x）的图象经过第一、二象限．
而y=f（x）的图象和y=f^-1（x）的图象关于直线y=x对称，故y=f^-1（x）的图象经过第一、四象限，故④正确．
故答案为 ③④．

点评：本题主要考查绝对值的意义，命题的真假的判断和应用，函数与反函数图象间的关系，属于中档题．