Question

2．在△ABC内随机取一点P，使$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，则x≤$\frac{2}{3}$在的条件下y≥$\frac{1}{3}$的概率（　　）

• A． $\frac{7}{9}$
• B． $\frac{4}{9}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 根据题意，把问题转化为求二元一次不等式组表示的平面区域问题，根据区域面积的比值求概率的应用问题，即可求出对应的概率．

解答 解：△ABC内随机取一点P，使$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，
则0≤x+y≤1；
又x≤$\frac{2}{3}$，
则由$\left\{\begin{array}{l}{0≤x+y≤1}\\{0≤x≤\frac{2}{3}}\end{array}\right.$所围成的区域面积为
S=$\frac{1}{2}$×1²-$\frac{1}{2}$×${（\frac{1}{3}）}^{2}$=$\frac{4}{9}$；
由$\left\{\begin{array}{l}{0≤x+y≤1}\\{0≤x≤\frac{2}{3}}\\{y≥\frac{1}{3}}\end{array}\right.$所围成的区域面积为
S₁=$\frac{1}{2}$×${（\frac{2}{3}）}^{2}$=$\frac{2}{9}$，
所以，所求的概率为
P=$\frac{{S}_{1}}{S}$=$\frac{\frac{2}{9}}{\frac{4}{9}}$=$\frac{1}{2}$．
故选：C．

点评 本题主要考查几何槪型的概率计算问题，解题的关键是把问题转化为求二元一次不等式组表示的平面区域面积，是综合性题目．