题目内容
如图：已知直棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=
，M是CC1的中点．求证：AB1⊥A1M．
【答案】分析：要证，只要A1M⊥AC1，B1C1⊥AC1 即证MA1⊥AB1C1，从而可证AB1⊥A1M
解答：证明：连接AC1
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，
，
∴
=
Rt△A1C1M中，tan∠A1MC1=
=
Rt△AA1C1中，tan∠AC1A1=
=
∴tan∠MA1C1=tan∠AC1A1 即∠AC1A1=∠A1MC1
∴A1M⊥AC1
∵B1C1⊥A1C1，B1C1⊥CC1且AC1∩CC1=C1
∴B1C1⊥平面AA1C1且MA1?面AA1C1
∴B1C1⊥MA1，又AC1∩B1C1是=C1
根据线面垂直的判定定理可知MA1⊥平面AB1C1
∴AB1⊥A1M
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用，线线垂直与线面垂直的相互转化，属于中档试题
解答：证明：连接AC1
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，
，∴
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Rt△A1C1M中，tan∠A1MC1=
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Rt△AA1C1中，tan∠AC1A1=
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∴tan∠MA1C1=tan∠AC1A1 即∠AC1A1=∠A1MC1
∴A1M⊥AC1
∵B1C1⊥A1C1，B1C1⊥CC1且AC1∩CC1=C1
∴B1C1⊥平面AA1C1且MA1?面AA1C1
∴B1C1⊥MA1，又AC1∩B1C1是=C1
根据线面垂直的判定定理可知MA1⊥平面AB1C1
∴AB1⊥A1M
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用，线线垂直与线面垂直的相互转化，属于中档试题
练习册系列答案
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