Question

已知函数f（x）=x²+（lga+2）x+lgb满足f（-1）=-2，且对于任意x∈R恒有f（x）≥2x成立．
（1）求实数a，b的值；
（2）设g（x）=f（x）-2x，若存在实数t，当x∈[1，m]时，g（x+t）≤x恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用对数的运算法则及对于任意x∈R二次函数f（x）-2x≥0恒成立问题与判别式△的关系即可解出；
（2）把存在实数t，当x∈[1，m]时，g（x+t）≤x恒成立，等价转化为-

x

-x≤t+1≤

x

-x，x∈[1，m]恒成立，进而等价转化(-

x

-x)max≤t+1≤(

x

-x)min，x∈[1，m]，利用二次函数的单调性即可解出．

解答：解：（1）由f（-1）=-2知，lgb-lga+1=0①，∴a=10b②．
又对于任意x∈R，f（x）≥2x恒成立，即f（x）-2x≥0恒成立，则x²+x•lga+lgb≥0恒成立，故△=lg²a-4lgb≤0，
将①式代入上式得：lg²b-2lgb+1≤0，即（lgb-1）²≤0，故lgb=1，即b=10，代入②得，a=100；
故a=100，b=10．
（2）g（x）=f（x）-2x=x²+2x+1=（x+1）²，
∵存在实数t，当x∈[1，m]时，g（x+t）≤x恒成立，即（x+t+1）²≤x恒成立．
∴?t∈R，-

x

≤x+t+1≤

x

，即-

x

-x≤t+1≤

x

-x，x∈[1，m]恒成立．
设

x

=u≥1，则-u-u²≤t+1≤u-u²，
∴(-u-u2)max≤t+1≤(u-u2)min，
∵当

m

≥u≥1时，-u2-u=-(u+

1

2

)2+

1

4

单调递减，故u=1时取得最大值-2；
-u2+u=-(u-

1

2

)2+

1

4

单调递减，故u=

m

时取得最小值

m

-m．
∴-2≤t+1≤

m

-m．
∴-2≤

m

-m，即(

m

)2-

m

-2≤0，化为(

m

+1)(

m

-2)≤0，
又m≥1，解得1＜

m

≤2，解得1＜m≤4，
∴实数m的最大值是4．

点评：熟练掌握对数的运算法则、二次函数恒成立问题与判别式△的关系、把恒成立问题等价转化、二次函数的单调性等是解题的关键．