Question

（本题满分14分）

设为非负实数，函数.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）讨论函数的零点个数，并求出零点．

Answer 1

解：（Ⅰ）当时，，               --------------1分

① 当时，，

∴在上单调递增；                                      --------------2分

② 当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增；                --------------3分

综上所述，的单调递增区间是和，单调递减区间是. ------4分

（Ⅱ）（1）当时，，函数的零点为；   -----5分

（2）当时，，                       --------------6分

故当时，，二次函数对称轴，

∴在上单调递增，；                           -----------7分

当时，，二次函数对称轴，

∴在上单调递减，在上单调递增； ----------------------------------8分

∴的极大值为，

 当，即时，函数与轴只有唯一交点，即唯一零点，

由解之得

函数的零点为或（舍去）；      -----------------------10分

 当，即时，函数与轴有两个交点，即两个零点，分别为和；               -----------------------11分

 当，即时，函数与轴有三个交点，即有三个零点，

由解得，，

∴函数的零点为和.   --------------------12分

综上可得，当时，函数的零点为；

当时，函数有一个零点，且零点为；

当时，有两个零点和；
当时，函数有三个零点和.       --------------------14分