Question

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，∠EAB=90°，AB=2，AD=AE=EF=1，平面ABFE⊥平面ABCD．
（1）求直线FD与平面ABCD所成的角的正切值；
（2）求点D到平面BCF的距离；
（3）求二面角B-FC-D的大小．

Answer 1

分析：（1）根据面与面垂直的性质定理．得到线与面垂直，有面的垂线后面再做线与面的角，就好做了，得到线面角，在一个可解的三角形中，求出线面角的正切值．
（2）结合图形建立坐标系，写出要用的点的坐标，做出面的法向量，和要用的直线的对应的向量，根据点到直线的距离公式得到结果．
（3）在图形中的坐标系的基础上，写出要用的两个平面的法向量，求出法向量的坐标，其中有一个平面的法向量不用求出，是图形中存在的一个向量，求出两个平面所成的角．

解答：解：（1）∵平面ABFE⊥平面ABCD，∠EAB=90°，
即EA⊥AB，而平面ABFE∩平面ABCD=AB，
∴EA⊥平面ABCD．作FH∥EA交AB于H，则FH⊥平面ABCD．
连接DH，则∠FDH为直线FD与平面ABCD所成的角．
在Rt△FHD中，∵FH=EA=1，DH=

2

，
∴tanFDH=

FH

DH

=

1

2

=

2

2

（2）∵平面ABFE⊥平面ABCD，EA⊥AB，
∴EA⊥平面ABCD．
分别以AD，AB，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（0，0，0）、D（1，0，0）、C（1，2，0）、E（0，0，1）、B（0，2，0）、
F（0，1，1），
∴

AF

=(0，1，1)，

BC

=(1，0，0)，

BF

=(0，-1，1)．
∵

AF

•

BC

=0，

AF

•

BF

=0，∴

AF

⊥平面BCF，
即

AF

=（0，1，1）为平面BCF的一个法向量，
又

DC

=(0，2，0)，
∴点D到平面BCF的距离为d=

| DC • AF |

| AF |

=

0×0+1×2+1×0

02+12+12

=

2

．
（3）∵

DC

=(0，2，0)，

DE

=(-1，0，1)，设

n1

=(x，y，z)为平面CDEF的一个法向量，则

n1 • DC =0 n1 • DE =0

?

y=0 -x+z=0

令x=1，得z=1，
即

n1

=(1，0，1)．
又（1）知，

n2

=

AF

=(0，1，1)为平面BCF的一个法向量，
∵＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1

2

，
且二面角B-FC-D的平面角为钝角，
∴二面角B-FC-D的大小为120°．

点评：本题是一个立体几何的综合题目，考查的几个大的知识点，解题时要注意求线面角时注意用向量所求的是线面角的正弦值，不要出错．