Question

已知以4为周期的函数，其中m为整数，若方程3f（x）-x=0恰好有5个解，则m=    ．

Answer 1

【答案】分析：根据对函数的解析式进行变形后发现当x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]上时，f（x）的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线y=与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m的范围．
解答：解：∵当x∈（-1，1]时，将函数化为方程x₂+=1（y≥0），
∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，
同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，
由图易知直线 y=x3与第二个椭圆（x-4）²+=1（y≥0）相交，
而与第三个半椭圆（x-8）²+=1 （y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，
将 y=代入（x-4）²+=1 （y≥0）得，（9m²+1）x²-72m²x+135m²=0，令t=9m2（t＞0），
则（t+1）x²-8tx+15t=0，由△=（8t）²-4×15t （t+1）＞0，得t＞15，由9m²＞15，且m＞0得 m ，
同样由 与第三个椭圆（x-8）²+=1 （y≥0）由△＜0可计算得 m＜，
综上可知m∈（，），故答案为m∈（，）．

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，及函数的周期性，其中根据方程根与函数零点的关系，结合函数解析式进行分析是解答本题的关键．