题目内容
（本题11分）如图1，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）
（1）求抛物线的解析式
（2）如图
2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则
轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）如图3，抛物线上是否存在一点
，过点作轴的垂线，垂足为
，过点作直线
，交线段
于点
，连接
，使
～
，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
图1 图2 
图3
解：（1
）设所求抛物线的解析式为：
，依题意，将点B（3，0）代入，得 
解得：a＝－1 ∴所求抛物线的解析式为：
（2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，
在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI…………………①
设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0），
∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线，得
∴点E坐标为（2，3）
又∵抛物线图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D
∴当y＝0时，
，∴x＝－1或x＝3
当x＝0时，y＝－1＋4＝3,
∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3） 
又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1，
∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE…………………②
分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得： 
解得： 
过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1
∴当x＝0
时，y＝1
∴点F坐标为（0，1）
∴
=2………………………………………③
又∵点F与点I关于x轴
对称，
∴点I坐标为（0，－1）
∴
………④
又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，
∴只要使DG＋GH＋HI最小即可
由图形的对称性和①、②、③，可知，
DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI
只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小
设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：
，
分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入
，得：
解得：
过I、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1
∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝
；
∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）
∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI
由③和④，可知：
DF＋EI＝
∴四边形DFHG的周长最小为。
（3）如图7，
由
题意可知，∠NMD＝∠MDB，
要使，△DNM∽△BMD，只要使
即可，
即：
………………………………⑤
设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得
△AMN∽△ABD，
∴
再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD＝
，AB＝4
∴ 
∵
，
∴⑤式可写成： 
解得 
或
（不合题意，舍去）∴点M的坐标为（
，0）
又∵点T在抛物线图像上，
∴当x＝时，y＝
∴点T的坐标为（，）.
解析
名校课堂系列答案
－y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q．
·
＝1，求点T的坐标；
＝λ·
，若λ∈[－2，－1]，求|
＋
|（T为（1）中的点）的取值范围．
中，点
到点
，
的距离之和是
，点
，直线
与轨迹
和
．⑴求轨迹
，
？若存在，求出
，且
的圆心C。
与椭圆交于A、B两点，点
且|PA|=|PB|，求直线
的方程。若曲线
(
为参数) 与曲线
相交于
,
两点，则
的值为( ).
A． | B． | C． | D． |
设r>0，那么直线
(
是常数)与圆
(
是参数)的位置关系是
| A．相交 | B．相切 | C．相离 | D．视r的大小而定 |
是一个半椭圆面（如图所示），要保证车辆正常通行，车顶离隧道顶部至少要有
米的距离，现有一货车，车宽
米，车高
米．
米，则应如何设计隧道才能保证此货车正常通行？
的面积公式．并问，当隧道为双向通行（车道间的距离忽略不记）时，要使此货车安全通过，应如何设计隧道，才会使同等隧道长度下开凿的土方量最小？
为中点的弦所在的直线的方程
的弦的中点的轨迹方程