Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E为棱CC₁的中点．
（1）求AD₁与DB所成角的大小；
（2）求证DB⊥平面AEA₁．

Answer 1

分析：（1）以

DA

为x轴，

DC

为y轴，

DD1

为z轴建立空间直角坐标系，分别求出AD₁与DB的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到AD₁与DB所成角的大小；
（2）分别求出向量

DB

，

AE

，

AA1

的坐标，进而根据

DB

•

AE

=0，

DB

•

AA1

=0，得到DB⊥AE，DB⊥AA₁，结合线面垂直的判定定理即可得到答案．

解答：解：以

DA

为x轴，

DC

为y轴，

DD1

为z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D₁（0，0，2），E（0，2，1）…（2分）
（1）

D1A

=(2，0，-2)，

DB

=(2，2，0)，|

D1A

|=2

2

，|

DB

|=2

2

…（4分）
cos＜

D1A

，

DB

＞=

D1A • DB

| D1A || DB |

=

2×2+0×2+(-2)×0

2 2 ×2 2

=

1

2

…（6分）
∴AD₁与DB所成的角为60⁰…（7分）
（2）

DB

=(2，2，0)，

AE

=(-2，2，1)，

AA1

=(0，0，2)，…（9分）
∴

DB

•

AE

=2×(-2)+2×2+0×1=0，

DB

•

AA1

=2×0+2×0+0×2=0，…（11分）
∴DB⊥AE，DB⊥AA₁，
即DB⊥平面AEA₁内的两条相交直线，∴DB⊥平面AEA₁…（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，其中解答的关键是建立空间坐标系，将异面直线夹角问题，线线垂直问题转化为向量夹角问题．