Question

若不等式＋≤k对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围．

Answer 1

k≥

解析:

法一：显然k＞0．(＋)²≤k²(2x＋y)??(2k²－1)x－2＋(k²－1)y≥0对于x，y＞0恒成立．

令t＝＞0，则得f(t)＝(2k²－1)t²－2t＋(k²－1)≥0对一切t＞0恒成立．当2k²－1≤0时，不等式不能恒成立，故2k²－1＞0．此时当t＝时，f(t)取得最小值－＋k²－1＝＝．当2k²－1＞0且2k²－3≥0，即k≥时，不等式恒成立，且当x＝4y＞0时等号成立．∴ k∈[，＋∞)．

解法二：显然k＞0，故k²≥＝．令t＝＞0，则k²≥＝(1＋)．令u＝4t＋1＞1，则t＝．只要求s(u)＝的最大值．

s(u)＝≤＝2，于是，(1＋)≤(1＋2)＝．

∴k²≥，即k≥时，不等式恒成立(当x＝4y＞0时等号成立)．

又：令s(t)＝，则s??(t)＝＝，t＞0时有驻点t＝．且在0＜t＜时，s??(t)＞0，在t＞时，s??(t)＜0，即s(t)在t＝时取得最大值2，此时有k²≥(1＋s())＝．

解法三：由Cauchy不等式，(＋)²≤(＋1)(2x＋y)．

即(＋)≤对一切正实数x，y成立．

当k＜时，取x＝，y＝1，有＋＝，而k＝k＜×＝．即不等式不能恒成立．而当k≥时，由于对一切正实数x，y，都有＋≤≤k，故不等式恒成立．

∴ k∈[，＋∞)．