Question

已知函数
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在[0，+∞）上的最小值是0，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求导，对a分类讨论即可得出其单调区间；
（2）利用（1）的结论即可求出a的取值范围．
解答：解：（1）f^′（x）=（x＞-1）．
①当a=0时，，∴函数f（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞）；
②当a＞0时，f^′（x）=，
令f^′（x）=0，解得x₁=0，．
当0＜a＜1时，x₁＜x₂，函数f（x）的单调递增区间是（-1，0）和，单调递减区间是；
当a=1时，在（-1，+∞）上单调递增；
当a＞1时，，∴函数f（x）的单调递增区间是和（0，+∞），单调递减区间是．
（2）由（1）可知：①a=0时不符合题意；
②当0＜a＜1时，函数f（x）在上单调递减，在单调递增，
由题意可知f（x）_min=＜f（0）=0，不符合题意，应舍去；
③当a≥1时，函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，
故f（x）_min=f（0）=0满足题意．
综上可知：a的取值范围是[1，+∞）．
点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值及分类讨论的思想方法是解题的关键．