题目内容
已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，SA=a，则此三棱锥体积最大值是______．
∵点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，
∴点S在底面ABC上的射影O为△ABC的垂心；又△ABC为正三角形，
∴O为△ABC的中心，即三棱锥S-ABC为正三棱锥．记SO=h（h＜a），则AO=
，
于是有：AB=
，记三棱锥S-ABC体积为f（h），
则f（h）=
(a2-h2)h，f/（h）=
(a2-3h2)，
∴fmax（h）=f(
a)=
．
故答案为：
∴点S在底面ABC上的射影O为△ABC的垂心；又△ABC为正三角形，
∴O为△ABC的中心，即三棱锥S-ABC为正三棱锥．记SO=h（h＜a），则AO=
| a2-h2 |
于是有：AB=
| 3(a2-h2) |
则f（h）=
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
∴fmax（h）=f(
| ||
| 3 |
| a3 |
| 6 |
故答案为：
| a3 |
| 6 |
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