Question

设等差数列{a_n}的前n项和为s_n，已知a₃=12，且s₁₂＞0，s₁₃＜0．
（1）求公差d的范围；
（2）问前几项和最大？并求最大值．

Answer 1

分析：（1）由S₁₂＞0，S₁₃＜0，利用等差数列的前n项和的公式化简，然后利用等差数列的通项公式化简a₃得到首项与公差的关系式，得到关于d的不等式组，求出不等式组的解集即可得到d的范围；
（2）根据（1）中d的范围可知d小于0，所以此数列为递减数列，在n取1到12中的正整数中只要找到有一项大于0，它的后一项小于0，则这项与之前的各项相加就最大，根据S₁₂＞0，S₁₃＜0，利用等差数列的性质及前n项和的公式化简可得S₁，S₂，…，S₁₂中最大的项．

解答：解：（1）依题意，有S12=12a1+

12×(12-1)

2

•d＞0，
S13=13a1+

13×(13-1)

2

•d＜0
即

2a1+11d＞0① a1+6d＜0②

由a₃=12，得a₁=12-2d③，
将③式分别代①、②式，得

24+7d＞0 3+d＜0

∴-

24

7

＜d＜-3．
（2）由d＜0可知a₁＞a₂＞a₃＞…＞a₁₂＞a₁₃．
因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得a_n＞0，a_n+1＜0，
则S_n就是S₁，S₂，，S₁₂中的最大值．

S12＞0 S13＜0

⇒

a1+5d＞- d 2 ＞0 a1+6d＜0

⇒

a6＞0 a7＜0

故在S₁，S₂，…，S₁₂中S₆的值最大．

点评：本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力，是一道中档题．