Question

正四面体ABCD边长为2．E，F分别为AC，BD中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面EFD；
（Ⅱ）求

VE-FCD

VA-BCD

的值．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结AF，EF，由已知条件推导出EF⊥AC，DE⊥AC，由此能够证明AC⊥平面EFD．
（Ⅱ）利用S_△FCD=

1

2

S_△BCD，E到平面BCD的距离等于A到平面BCD的距离的一半，可得结论．

解答： （Ⅰ）证明：连结AF，EF，
∵ABCD是正四面体，E，F分别为AC，BD中点
∴AF=CF，AD=CD，
∴EF⊥AC，DE⊥AC，
∵EF∩DE=E，∴AC⊥平面EFD．
（Ⅱ）解：∵S_△FCD=

1

2

S_△BCD，E到平面BCD的距离等于A到平面BCD的距离的一半，
∴

VE-FCD

VA-BCD

=

1

4

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥体积的计算，属于中档题．