Question

（本小题满分12分）
右图是一个直三棱柱（以A₁B₁C₁为底面）被一平面所截得到
的几何体，截面为ABC．已知A₁B₁＝B₁C₁＝l，∠A_lB_lC₁＝90°，
AA_l＝4，BB_l＝2，CC_l＝3．
（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A₁B₁C₁；
（2）求二面角B—AC—A₁的大小；
（3）求此几何体的体积．

Answer 1

(1)OC∥平面A₁B₁C₁
(2) 二面角的大小为
(3)

（1）证明：作交于，连．
则．
因为是的中点，
所以．
则是平行四边形，因此有．
平面且平面，
则面．
（2）如图，过作截面面，分别交，于，．
作于，连．
因为面，所以，则平面．
又因为，，．
所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角．
因为，所以，故，
即：所求二面角的大小为．
（3）因为，所以

所求几何体体积为
．
解法二：
（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，因为是的中点，所以，
．
易知，是平面的一个法向量．
因为，平面，所以平面．
（2），，
设是平面的一个法向量，则
则得：
取，．
显然，为平面的一个法向量．
则,
结合图形可知所求二面角为锐角．
所以二面角的大小是．
（3）同解法一．