Question

5．定义在数列{a_n}中，若满足$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}-\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=d（n∈{R}^{+}，d为常数）$为“等差比数列”，已知在等差比数列中，a₁=a₂=1，a₃=3，则$\frac{{a}_{2015}}{{a}_{2013}}$=4×2013²-1．

Answer 1

分析 通过a₁=a₂=1、a₃=3及$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}-\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=d（n∈{R}^{+}，d为常数）$计算可知d=2，进而可知数列{$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$}是以1为首项、2为公差的等差数列，计算可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2n-1，从而$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$•$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=4n²-1，代入计算即得结论．

解答 解：∵a₁=a₂=1，a₃=3，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=1，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=3，
又∵数列{a_n}满足$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}-\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=d（n∈{R}^{+}，d为常数）$，
∴d=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$-$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=3-1=2，
∴数列{$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$}是以1为首项、2为公差的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=2n+1，
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$•$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=（2n-1）（2n+1）=4n²-1，
∴$\frac{{a}_{2015}}{{a}_{2013}}$=4×2013²-1，
故答案为：4×2013²-1．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．