Question

已知x满足：2(log

1

2

x)2+7log

1

2

x+3≤0，求f(x)=(log2

x

2

)•(log2

x

4

)的最大值和最小值．

Answer 1

分析：由2(log

1

2

x)2+7log

1

2

x+3≤0可知

1

2

≤log2x≤3．再由f(x)=(log2

x

2

)•(log2

x

4

)可知f(x)=(log2x-

3

2

)2-

1

4

，利用二次函数的性质可以求出f(x)=(log2

x

2

)•(log2

x

4

)的最大值和最小值．

解答：解：∵2(log

1

2

x)2+7log

1

2

x+3≤0，∴

1

2

≤log2x≤3．
∵求f(x)=(log2

x

2

)•(log2

x

4

)=（log₂x-1）（log₂x-2）=（log₂x）²-3log₂x+2，
∴f(x)=(log2x-

3

2

)2-

1

4

，
∴f(x)max=f(x)

.

log2x=3

=2，f(x)min=f(x)

.

log2x= 3 2

=-

1

4

．
故求f(x)=(log2

x

2

)•(log2

x

4

)的最大值是2，最小值是-

1

4

．

点评：本类题是比较多见的常规题，先解不等式求出log₂x的范围，再用二次函数的最值来求解f(x)=(log2

x

2

)•(log2

x

4

)的最大值和最小值．