Question

数列{a_n}满足a₁=1，an+1=

n-λ

n+1

an，其中λ∈R，n=1，2，…．给出下列命题：
①?λ∈R，对于任意i∈N^*，a_i＞0；
②?λ∈R，对于任意i≥2（i∈N^*），a_ia_i+1＜0；
③?λ∈R，m∈N^*，当i＞m（i∈N^*）时总有a_i＜0；
④?λ∈R，使得数列{a_n}为等比数列．
其中正确的命题是

①③④

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：①当λ≤0时，能判断①的正误；②由ai•ai+1=

i-λ

i+1

ai2＜0，得λ＞i，从而可得λ为变量，由此能判断②的正误；③设λ=3.1，能判断③的正误；④当λ=-1时，使得数列{a_n}为等比数列．

解答：解：①：当λ≤0时，

n-λ

n+1

＞0，a₁＞0，a_n＞0，故①正确；
②：由ai•ai+1=

i-λ

i+1

ai2＜0，得λ＞i，从而可得λ为变量，故②错误；
③：设λ=3.1，a₂=

1-λ

2

a₁＜0，a₃=

2-λ

3

a₂＞0，a₄=

3-λ

4

a₃＜0，
当i＞4时，

i-λ

5

＞0，从而有a₅＜0，a₆＜0，…a_i＜0，故③正确；
④当λ=-1时，an+1=

n-λ

n+1

an=a_n，
∵

an+1

an

=1
∴使得数列{a_n}为等比数列，故④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式判断数列中的项满足的条件，解题的关键是要能够灵活利用数列的综合知识．