Question

在数列{a_n}中，，a₁=1，a₂=2，三个相邻项a_n，a_n+1，a_n+2，当n为奇数时成等比数列；当n为偶数时成等差数列．求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

【答案】分析：先根据题意可枚举出数列的前几项，进而总结过规律将n为奇数（n=2k-1）的数列取出 得到 1 4 9 16 25，可作出假设a_2k-1=k²，k≥1的整数，将n为偶数（n=2k）的数列取出 得到 2 6 12 20 30，可作出假设a_2k=a_2k-2+2k，k≥2．用叠加法可以得出 a_2k，因为当n=2k-1为奇数时a_n+1²=a_na_n+2代入n=2k-1得到 a_2k²=a_2k-1a_2k+1，当n=2k为偶数时，2a_n+1=a_n+a_n+2
代入n=2k 得到 2a2_k+1=a_2k+a_2k+2，然后把假设的式子代入符合，推断假设成立，进而分别可求得当n为奇数和n为偶数时数列的通项公式．
解答：解：按照题意可得数列为
1 2 4 6 9 12 16 20 25 30
规律如下：
将n为奇数（n=2k-1）的数列取出 得到 1 4 9 16 25
可作出假设a_2k-1=k²，k≥1的整数…①
将n为偶数（n=2k）的数列取出 得到 2 6 12 20 30
可作出假设a_2k=a_2k-2+2k，k≥2，a₂=2
用叠加法可以得出 a_2k=（1+k）k k≥的整数（K=1时候a2=2符合） …②
因为当n=2k-1为奇数时，a_n+1²=a_na_n+2
代入n=2k-1得到 a_2k²=a_2k-1a_2k+1…③（k≥1整数）
因为当n=2k为偶数时，2a_n+1=a_n+a_n+2
代入n=2k 得到 2a2_k+1=a_2k+a_2k+2…④（k≥1整数）
根据假设①②两式 得知a_2k²=（1+k）²k²
a_2k-1a_2k+1=k²（k+1）²，（k≥1整数）
将两等式代入③成立
根据假设①②两式 得到2a_2k+1=2（k+1）²
a_2k+a_2k+2=（1+k）k+（1+k+1）（k+1）=2（k+1）²，（k≥1整数）
将两等式代入④成立
综上所述，①②两个假设都成立
即a_n的通式为
n为奇数（n=2k-1）时，a_2k-1=k²，k取≥1的整数
将n=2k-1代入即得 a_n=（n+1）²，n为奇数
n为偶数（n=2k）时，a_2k=（1+k）k，k取≥1的整数，
将n=2k代入 即得 a_n=（1+）*=
点评：本题主要考查了等比数列的性质．考查了学生推理能力，分析问题的能力和运算能力．