Question

己知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，过F点的直线与椭圆C交于不同两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线斜率为1，求线段的长；
（3）设线段的垂直平分线交轴于点P（0，y₀），求的取值范围.

Answer 1

（1）椭圆C的方程；（2）线段的长为；（3）的取值范围是.

试题分析：（1）根据椭圆的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，代入即可求得椭圆C的方程；（2）先用点斜式写出直线方程，再和椭圆方程联立，用弦长公式即可求出线段的长为；（3）当轴时，显然.当与轴不垂直时，可设直线的方程为,把直线方程与椭圆方程联立，设直线与椭圆的两个交点为，，表示出，联立即可求出的取值范围.
试题解析：（1）由题意：，，
，
所求椭圆方程为.                                            3分
（2）由题意，直线l的方程为：.
由得，

所以.                                       7分
（3）当轴时，显然.
当与x轴不垂直时，可设直线的方程为.
由消去y整理得.
设，，线段MN的中点为，
则.
所以，
线段MN的垂直平分线方程为
在上述方程中令x＝0，得.
当时，；当时，.
所以，或.
综上，的取值范围是.                                     10分