Question

在△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C的大小为（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  5

  6

  π
• C、

  π

  6

  或

  5

  6

  π
• D、

  π

  3

  或

  2

  3

  π

Answer 1

分析：把已知的两等式两边平方后，左右相加，然后利用同角三角函数间的基本关系、两角和的正弦函数公式及诱导公式化简后即可得到sinC的值，利用特殊角的三角函数值及角C的范围即可求出C的度数．

解答：解：由3sinA+4cosB=6①，3cosA+4sinB=1②，
①²+②²得：（3sinA+4cosB）²+（3cosA+4sinB）²=37，
化简得：9+16+24（sinAcosB+cosAsinB）=37，
即sin（A+B）=sin（π-C）=sinC=

1

2

，又C∈（0，π），
所以∠C的大小为

π

6

或

5

6

π，
若C=

5

6

π，得到A+B=

π

6

，则cosA＞

3

2

，所以3cosA＞

3 3

2

＞1，
则3cosA+4sinB＞1与3cosA+4sinB=1矛盾，所以C≠

5

6

π，
所以满足题意的C的值为

π

6

．
故选A

点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．本题也是一道易错题，学生容易选择C，原因是没有判断角C为钝角是不可能的．