题目内容

P是以F1，F2为焦点的椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)上的任意一点，若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，且cosα=
5
5
，sin（α+β）=
3
5
，则此椭圆的离心率为
 
．
分析：先计算sinβ，设|PF1|=m，|PF2|=n，再利用正弦定理求出n=
20
21
a，m=
22
21
a，利用余弦定理，即可得出结论．
解答：解：∵cosα=
5
5
，sin（α+β）=
3
5
，
∴sinα=
2
5
5
，cos（α+β）=±
4
5
，
∴sinβ=sin[（α+β）-α]=
3
5
•
5
5
+
4
5
•
2
5
5
=
11
5
25
或
3
5
•
5
5
-
4
5
•
2
5
5
＜0（舍去），
设|PF1|=m，|PF2|=n，则由正弦定理可得
m
11
5
25
=
n
2
5
5
，
∴m=
11
10
n，
∵m+n=2a，
∴n=
20
21
a，m=
22
21
a
由余弦定理可得(
20
21
a)2=(
22
21
a)2+4c2-2•
22
21
a•2c•
5
5
，
整理可得22e2-
22
5
5
e+1=0，
∵0＜e＜1，
∴e=
5
7
．
故答案为：
5
7
．
点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，综合性强．
练习册系列答案
相关题目
设P是以F1、F2为焦点的椭圆
x2
b2
+
y2
a2
=1 (a＞b＞0)上的任一点，∠F1PF2最大值是120°，求椭圆离心率．
已知P是以F1，F2为焦点的椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2=
1
2
，则此椭圆的离心率为（　　）
A、
1
2
B、
2
3
C、
1
3
D、
5
3
已知P是以F1，F2为焦点的双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1上的一点，若
PF1
•
PF2
=0，tan∠PF1F2=2，则此双曲线的离心率为（　　）
A、
5
B、5
C、2
5
D、3
若P是以F1，F2为焦点的椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的一点，且
PF1
•
PF2
=0，tan∠PF1F2=
1
2
，则此椭圆的离心率为（　　）
已知点P是以F1，F2为焦点的椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上一点，且
PF1
•
PF2
=0，tan∠PF1F2=
1
2
，则该椭圆的离心率等于
5
3
5
3
．

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