Question

13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知△ABC的面积$S=\frac{1}{2}[{a^2}-{（{b-c}）^2}]$．
（Ⅰ）求sinA与cosA的值；
（Ⅱ）设$λ=\frac{b}{a}$，若tanC=2，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角形面积公式及余弦定理化简已知等式可得$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}[{a^2}-{b^2}-{c^2}+2bc]=-bccosA+bc$，解得：sinA+2cosA=2，又sin²A+cos²A=1，从而解方程组即可得解．
（Ⅱ）由tanC=2，可得sinC，cosC的值，可得$sinB=sin（{A+C}）=sinAcosC+cosAsinC=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，从而由正弦定理即可解得$λ=\frac{b}{a}=\frac{sinB}{sinA}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

解答 （本题满分为14分）
解：（Ⅰ）由题意可得：$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}[{a^2}-{b^2}-{c^2}+2bc]=-bccosA+bc$，…（3分）
所以解得：sinA+2cosA=2，
又因为sin²A+cos²A=1，
解方程组可得 $\left\{\begin{array}{l}sinA=\frac{4}{5}\\ cosA=\frac{3}{5}\end{array}\right.$．…（8分）
（Ⅱ）∵tanC=2，C为三角形的内角，
∴易得$sinC=\frac{2}{{\sqrt{5}}}，cosC=\frac{1}{{\sqrt{5}}}$，…（10分）
∴$sinB=sin（{A+C}）=sinAcosC+cosAsinC=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$…（12分）
∴$λ=\frac{b}{a}=\frac{sinB}{sinA}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$． …（14分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，同角三角函数关系式的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，属于中档题．